常微分方程

一些方程相关的概念

向量空间是线性的空间，里面的向量和映射都是线性的(可加，数乘)

$$\begin{array}{r}L(X_1+X_2)=L(X_1)+L(X_2)\\ L(\lambda X)=\lambda L(X)\end{array}$$

齐次方程就是左边是自变量，右边是零的方程。它的解叫做通解，是一种向量空间哦

$$\begin{array}{r}F(x_1,x_2,...,x_n)=0\end{array}$$

非齐次方程就是左边是自变量，右边还有一个常数。它的解叫做特解

$$\begin{array}{r}F(x_1,x_2,...,x_n)=b\end{array}$$

如果右边那个常数变成零了之后，非齐次方程就成为齐次方程。 实际上，非齐次方程加上特解，就等效为齐次方程。

$$\begin{array}{rl}& Ax=b非齐次方程\\ & A{x}^{\ast }=b{x}^{\ast }是非齐次方程的特解\\ & \\ & 所以A(x-x^{\ast })=0\\ & 令t=x-x^{\ast }，则At=0转变为齐次方程\end{array}$$

而常微分方程的一般形式就是

$$\begin{array}{r}L(y)=f(x)\end{array}$$

对于这个方程来说，$L(y)$ 就是齐次部分，$f(x)$ 就是非齐次部分 如果 $L(y)$ 是线性的，那么这个方程就是线性常微分方程。否则就是非线性常微分方程

对于偏微分方程来说，下面关于线性方程的分类很重要，但是对于常微分来说一般般 线性方程可以分成常系数的，就像 $\sum _{i=0}^n{a}_i{y}^{(i)}=f(x)$ 其中 $a_i$ 是常数 也可以分成变系数的，就像 $\sum _{i=0}^n{a}_i(x)y^{(n)}=f(x)$

微分方程的概念就是自变量，未知函数，未知函数的导数

积分方程的初值条件隐藏在积分上下限里，比如 \displaystyle \begin{align}\int_{x_{0}}^{x}\phi (x)=... \\隐含\phi (x_{0})=...\end{align} 代入 $x_0$ 到积分方程 多阶积分方程会隐含多个初值条件，积分方程求导的公式 对这个函数 $F(x)={\int }_{{\varphi }_2(x)}^{{\varphi }_1(x)}f(x,t)dt$ 求导得到 $F^{\prime }(x)=f(x,{\varphi }_1(x)){\varphi }_1(x{)}^{\prime }-f(x,{\varphi }_2(x)){\varphi }_2^{\prime }(x)+{\int }_{{\varphi }_2(x)}^{{\varphi }_1(x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$

在处理多阶积分方程一定要注意初值条件

变量分离法(一阶线性齐次、非齐次通吃)

基本的原则就是，分离变量，然后积分。 或者遇到整体的换一个元，遇到齐次的除下去换元

第一种最简单的是遇到 $x,y$ 变量可以直接分离，不耦合的情况。

$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\\ \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\\ 两边同时积分\end{array}$$

像上面的那个要除过去(严谨的说法是做变量替换)，把变量都分离干净了再积分

稍微难一点就是要分解因式之后，才能看出来变量分离(遇到含有非线性的高次多项式项要想到)

第二种是遇到整体耦合在一起

$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)\end{array}$$

令 $\boxed{t=ax+by+c}$，再计算 $\frac{dt}{dx}$，然后优先考虑分离变量

$$\begin{array}{r}\frac{dt}{dx}=\frac{d(ax+by+c)}{dx}=a+b\cdot \frac{dy}{dx}=a+b\cdot f(t)\\ 这个式子就可以分离变量了:\frac{dt}{dx}=a+b\cdot f(t)\end{array}$$

第三种是遇到齐次式

$$\begin{array}{r}f(x,y)=\frac{dy}{dx}\end{array}$$

如果 $f(x,y)=f(tx,ty)$ 那么就说 $f(x,y)$ 是齐次的，$f(x,y)$ 可以被写成 $h(\frac{y}{x})$ 例子就是

$$\begin{array}{r}\frac{A_1{x}^2+B_{1}xy+C_1{y}^2}{A_2{x}^2+B_{2}xy+C_2{y}^2}\to \frac{A_1+B_1\frac{y}{x}+C_1{\frac{y}{x}}^2}{A_2+B_2\frac{y}{x}+C_2{\frac{y}{x}}^2}\end{array}$$

这时候要令 $\boxed{\frac{y}{x}=u}$，再计算 $\frac{dy}{dx}$

$$\begin{array}{r}f(x,y)=\frac{dy}{dx}=\frac{d(ux)}{dx}=u+\frac{du}{dx}=h(u)\\ 这个式子就可以分离变量了:h(u)=u+\frac{du}{dx}\end{array}$$

第四种最难的就是遇到

$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}=f(\frac{A_{1}x+B_{1}y+C_1}{A_{2}x+B_{2}y+C_2})\end{array}$$

下面分类讨论 如果 $C_1=C_2=0$ 那么就变成齐次式，和第三种情况处理一样 如果分子和分母对应的各个项的系数成比例，那么就设分子是 $t$，分母是 $\lambda t$，之后就和第二种情况的处理一样 如果没有上面的两种特殊情况，就要先解这个方程 \begin{align}\begin{cases}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\end{cases}\end{align} 得到 $\{\begin{array}{l}{x}_0\\ y_0\end{array}$ 然后再令 $\{\begin{array}{l}u=x-x_0\\ v=y-y_0\end{array}$ 把原来 $f(\frac{A_{1}x+B_{1}y+C_1}{A_{2}x+B_{2}y+C_2})$ 里面的 $x,y$ 替换成 $u,v$ 这样就可以得到

$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}=f(\frac{A_{1}x+B_{1}y+C_1}{A_{2}x+B_{2}y+C_2})=f(\frac{A_{1}u+B_{1}v}{A_{2}u+B_{2}v})=\frac{du}{dv}\\ 这个式子就可以用处理齐次式的方法了:\boxed{f(\frac{A_{1}u+B_{1}v}{A_{2}u+B_{2}v})=\frac{du}{dv}}\end{array}$$

常数变易法(非齐次)

常数变易法是处理一阶非齐次线性常微分方程的方法，一阶线性常微分方程的标准形式长成下面这样

$$\begin{array}{r}标准形式:\boxed{\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)}\end{array}$$

注意拿到一个一阶线性常微分方程，要转化成标准形式，这个可要写对奥

然后先把方程看成下面这个齐次方程，用分离变量法求方程的通解 $y_0$

$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}+P(x)y=0\end{array}$$

得到下面的通解 $y_0$

$$\begin{array}{r}{y}_0=C\cdot (与x有关的单变量函数)\end{array}$$

这时候把常数 $C$ 看成关于 $x$ 的函数 $C(x)$，用下面的式子计算方程的特解 $y_x=C(x)(与x有关的单变量函数)$

$$\begin{array}{r}{C}^{\prime }(x)\cdot (与x有关的单变量函数)=Q(x)\\ C(x)=\int C^{\prime }(x)dx(因为这是特解，所以积分后不用加常数)\\ y_x=C(x)(与x有关的单变量函数)\end{array}$$

所以这个非齐次方程的解等于特解加通解

$$\begin{array}{r}y=y_0+y_x=C(与x有关的单变量函数)+C(x)(与x有关的单变量函数)\end{array}$$

如果遇到类似下面这种可以凑微分的形式，也可以不用常数变易法直接凑微分

$$\begin{array}{rl}& \frac{dp}{dx}=P(x)(p-1)\\ & \\ & dp可以凑成d(p-1)\\ & \\ & \frac{dp}{dx}=\frac{d(p-1)}{dx}=P(x)(p-1)\end{array}$$

伯努利方程(一阶线性非齐次+ $y^{\alpha }$)

所谓的伯努利方程，就是一个非齐次方程的右边还有 $y^{\alpha }$ 次方部分的方程

$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }\end{array}$$

遇到这样的方程，就是要令 $\boxed{p=y^{1-\alpha }}$ 换元

$$\begin{array}{rl}& \\ & 除一个y^{\alpha }\\ & \frac{1}{1-\alpha }\cdot d\frac{(y^{1-\alpha })}{dx}+P(x)y^{1-\alpha }=Q(x)\\ & 这样就令p=y^{1-\alpha }换元\\ & 直接可以得到:\boxed{\frac{1}{1-\alpha }\frac{dp}{dx}+P(x)p=Q(x)}\end{array}$$

可降阶的多阶微分方程

$F(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })$ 类型

把 $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=p\\ y^{\prime \prime }=p^{\prime }=\frac{dp}{dx}\end{array}$ 变成 $F(x,p,\frac{dp}{dx})$

$F(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })$ 类型

把 $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=p\\ y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}\end{array}$

这里原本是 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}$，但是这个微分方程现在的自变量是 $y$，未知函数是 $p$ 如果未知函数的导数是 $\frac{dp}{dx}$ 的话要引入 $x$ 自变量，这样不行

于是未知函数的导数 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$

$y^{(n)}=f(x)$ 类型

连续积分 $n$ 次就行啦

$F(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })$ 派生 $F(y^{\prime },y^{\prime \prime })$

这样就直接令 $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=p\\ y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}\end{array}$

$y^{(n)}=f(x)$ 和 $F(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })$ 派生 $F(y^{(n)},y^{(n+1)})$

$y^{(n)}=f(x)$ 和 $F(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })$ 派生 $F(x,y^{(n)},y^{(n+1)})$

$y^{(n)}=f(x)$ 和 $F(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })$ 派生 $F(x,y^{(n)},y^{(n+1)})$

只能用全微分/积分因子的一阶微分方程

如果这么巧遇到是全微分的方程，就用曲线积分的知识找出原函数就行啦

$$\begin{array}{r}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是某个函数U(x,y)的全微分的条件是\\ \frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=0\end{array}$$

如果不是全微分的话，要找到一个积分因子乘以原来的方程，来让它变成全微分方程 首先遇到一个微分方程

$$\begin{array}{r}Mdx+Ndy=0\end{array}$$

先计算 $\{\begin{array}{l}\frac{\partial M}{\partial y}\\ \frac{\partial N}{\partial x}\end{array}$ ，再计算下面这个式子

$$\begin{array}{r}\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\end{array}$$

看这个式子是只含 $x$ 还是只含 $y$ 如果只含 $x$，这个式子就除 $N$，意味着待会计算出来的积分因子是 $\mu (x)$

$$\begin{array}{r}记F(x)=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\end{array}$$

则

$$\begin{array}{r}\mu (x)=e^{\int F(x)dx}\end{array}$$

之后再把积分因子 $\mu$ 乘到原来的方程，再用处理全微分方程的办法做

如果只含 $y$，这个式子就除 $M$，意味着待会计算出来的积分因子是 $\mu (y)$ 并且 $F(y)$ 上面相减的部分会有一个负号的区别

整个过程的原理就是把下面的式子展开

$$\begin{array}{r}\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}\end{array}$$

凑微分法(通吃各种情况)

一般是在处理某些特殊情况下可以使用，核心思想就是把一切东西都拿到 $d()$ 后面 如果方程左右两边都能拿进 $d()$ 里面，或者可以有一部分拿进 $d()$ 里面就可以考虑

简单的三角函数，多项式函数，多项式派生的根号，都可以考虑凑微分 一般要观察一些暗示，比如 $3y^{2}dy$ 就可以干干净净地拿进变成 $d(y^3)$ 就是这种暗示

注意的点
纯项可以干干净净地拿进去	比如 $3y^{2}dy$ 就可以干干净净地拿进变成 $d(y^3)$ 就是这种暗示
交叉的项，可以凑成相乘后取微分拆开的形式	比如 $x^{2}d{y}^3+y^{3}d{x}^2$ 就可以合并成 $d(x^2{y}^3)$，如果可以这么做估计就稳了
可以利用 $dx=d(x+C)$ 凑成统一的式子，或者利用 $xdx$ 提进去可以凑成统一的次数	比如$\boxed{\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}}$是可以凑的

不用常数变易法解非齐次方程 如果遇到类似下面这种，可以把一部分拿进 $d()$ 来把非齐次变成齐次方程的形式，也可以不用常数变易法直接凑微分

$$\begin{array}{r}\frac{dp}{dx}=P(x)(p-1)\\ dp可以凑成d(p-1)\\ \\ \frac{dp}{dx}=\frac{d(p-1)}{dx}=P(x)(p-1)\end{array}$$

不用积分因子解全微分方程 如果遇到类似下面这种左右两边全都能拿进 $d()$ 里的形式，也可不用找积分因子直接凑微分

$$\begin{array}{r}(x+y{)}^2(dx-dy)=dx+dy\\ 把dx+dy凑成d(x+y)\\ d(x-y)=\frac{d(x+y)}{(x+y{)}^2}\\ \boxed{关键是这方程右边还可以拿进d()里面}\\ d(x-y)=-d(\frac{1}{x+y})\\ d(x-y+\frac{1}{x+y})=0\\ x-y+\frac{1}{x+y}=C\end{array}$$

还有

$$\begin{array}{r}\sin y\cdot dx+\cos \cdot dy=0\\ dx=-\frac{\cos y\cdot dy}{\sin y}\\ dx=-\frac{d(\sin y)}{\sin y}\\ \boxed{关键是这方程右边还可以拿进d()里面}\\ dx=-d(\ln |\sin y|)\\ d(x+\ln |\sin y|)=0\\ x+\ln |\sin y|=C\end{array}$$

还有

$$\begin{array}{r}xdx=(2x{y}^{3}dx+3x^2{y}^{2}dy)\sqrt{1+x^2}\\ \\ \frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=2x{y}^{3}dx+3x^2{y}^{2}dy\\ \\ \boxed{\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{d(x^2+1)}{\sqrt{1+x^2}}=d(\sqrt{1+x^2})}\\ \\ \boxed{2x{y}^{3}dx+3x^2{y}^{2}dy=y^{3}d(x^2)+x^{2}d(y^3)=d(x^2{y}^3)}\\ \\ 于是d(x^2{y}^3-\sqrt{1+x^2})=0\end{array}$$

还有

$$\begin{array}{r}y(x+1)dx+x(y+1)dy=0\\ 一看都是多项式，就可以凑微分，全部拆开\\ \\ xydx+ydx+xydy+xdy=0\\ xy(dx+dy)+d(xy)=0\\ xy\cdot d(x+y)=-d(xy)\\ d(x+y)=\frac{-d(xy)}{xy}\\ \boxed{关键是这方程右边还可以拿进d()里面}\\ d(x+y)=-d\ln |xy|\\ \\ d(x+y+\ln |xy|)=0\\ x+y+\ln (xy)=C\end{array}$$

二阶非齐次线性方程

对于 $2$ 阶线性齐次方程，就要找 $2$ 个线性无关的解 $y_1$ 和 $y_2$，这些解的线性组合 $C_1{y}_1+C_2{y}_2$ 就是线性方程的通解 $y_0$

对于 $2$ 阶线性非齐次方程，就要先把它的非齐次部分忽略掉，然后找出那齐次情况下的通解 $y_0$，再回到原方程解个特解 $y^{\ast }$ 出来，那么这个方程的解就是 $y^{\ast }+y_0$

对于 $2$ 阶线性非齐次方程 $L(y_1+y_2)=f_1(x)+f_2(x)$ 可以把它复杂的非齐次部分拆解开，化成多个简单的非齐次部分的非齐次方程 $\{\begin{array}{l}L(y_1)=f_1(x)\\ L(y_2)=f_2(x)\end{array}$

降阶法法求线性齐次方程的另一个线性无关的解 (不考)

二阶线性齐次方程 $y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$，如果 $y_1$ 为一个非零解 则令 $y_2=u(x)y_1$ 且 $y_1$ 和 $y_2$ 线性无关

那么代入 $y_2$ 到方程中会得到 $y_1{u}^{\prime \prime }+(2y_1^{\prime }+P(x)y_1)u^{\prime }=0$ 这个方程。再令 $v=u^{\prime }$ 就可以降阶

最后解得 $y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int P(x)dx}dx$

常数变易法 (不考)

面对二阶线性非齐次方程 $y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)$ 已经知道了它在齐次状态下的通解 $y_0=C_1{y}_1+C_2{y}_2$ 的话，就把常数都看成函数 ($y=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2$)

然后解方程 $\{\begin{array}{l}{y}_1{C}_1^{\prime }+y_2{C}_2^{\prime }=0\\ y_1^{\prime }{C}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{C}_2^{\prime }=f(x)\end{array}$ 得到 $C_1(x)$ 和 $C_2(x)$ 代回到 $y=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2$ 就是非齐次方程的解了

二阶线性常系数方程 (考)

齐次方程的通解

对于 $y^{\prime \prime }+P{y}^{\prime }+Q=0$ 设 $y=e^{\lambda x}$ 得到特征方程 ${\lambda }^2+P\lambda +Q=0$

特征方程解的情况	基底	原函数就是基底张成的线性空间
如果 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$	$\{\begin{array}{l}{e}^{{\lambda }_{1}x}\\ e^{{\lambda }_{2}x}\end{array}$	$y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$
如果 ${\lambda }_1={\lambda }_2$ (二重实根)	$\{\begin{array}{l}{e}^{{\lambda }_{1}x}\\ x{e}^{{\lambda }_{1}x}\end{array}$	$y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_{2}x{e}^{{\lambda }_{1}x}$
如果 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 都是共轭复根，那么设 $\lambda =\alpha \pm i\beta$	$\{\begin{array}{l}{e}^{\alpha x}\cos \beta x\\ e^{\alpha x}i\sin \beta x\end{array}$	$y(x)=C_1\cos \beta x{e}^{\alpha x}+C_{2}i\sin \beta x{e}^{\alpha x}$
如果有 $k$ 重实根	$e^{\lambda x}$ 前依次乘 $x,x^2,\dots ,x^{k-1}$ 作为基底 $\{\begin{array}{l}(1):e^{{\lambda }_{1}x}\\ (2):x{e}^{{\lambda }_{1}x}\\ ⋮\\ (k):x^{k-1}{e}^{{\lambda }_{1}x}\end{array}$	$y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_{2}x{e}^{{\lambda }_{1}x}+\cdots +C_k{x}^{k-1}{e}^{\lambda x}$
如果有 $k$ 重共轭复根	也是在这两个 $\{\begin{array}{l}{e}^{\alpha x}\cos \beta x\\ e^{\alpha x}i\sin \beta x\end{array}$ 前依次乘 $x,x^2,\dots ,x^{k-1}$ 作为基底

这是由 $e^{(\alpha \pm i\beta )x}=e^{\alpha x}\cdot e^{i\beta x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x+i\sin \beta x)$ 得到的两个基底为 $\{\begin{array}{l}{e}^{\alpha x}\cos \beta x\\ e^{\alpha x}i\sin \beta x\end{array}$

如果遇到其中一个项($y$、$y^{\prime }$) 没有时，就把它们对应的系数写成 0 继续套特征方程

非齐次方程的特解

对于 $y^{\prime \prime }+P{y}^{\prime }+Q=P_n(x)e^{tx}$ 其中如果右边不是 $P_n(x)e^{tx}$ 这种形式，那就只能用常数变易法

讨论 $t$ 和特征方程的关系	特解，其中 $Q_n(x)=b_0+b_{1}x+\cdots +b_n{x}^n$
如果 $t$ 不是是特征方程的根	$y^{\ast }=Q_n(x)e^{tx}$
如果 $t$ 是特征方程的单实根	$y^{\ast }=x{Q}_n(x)e^{tx}$
如果 $t$ 是特征方程的二重实根	$y^{\ast }=x^2{Q}_n(x)e^{tx}$

注意遇到右边是纯多项式的时候，意味着 $t=0$，此时要看看 $t=0$ 是不是特征方程的根

遇到右边是只有一种三角函数的，先算右边是指数函数的样子，求出解之后再根据欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 来取实部(原来是 $\cos$)或者虚部(原来是 $\sin$)

遇到右边是有两种三角函数的，可以使用线性方程的叠加原理，把右边拆成两个单独的，也可以用下面的公式

$y^{\prime \prime }+Py+Q=P_n(x)e^{\alpha x}(a\cos \beta x+b\sin \beta x)$	$A_m$ 和 $B_m$ 是 $m$ 次多项式 ($m$ 是 $a,b$ 中次数最高的次数)
如果 $\alpha \pm i\beta$ 不是特征根	$y^{\ast }=e^{\alpha x}(A_m\cos \beta x+B_m\sin \beta x)$
如果 $\alpha \pm i\beta$ 是一对特征根	$y^{\ast }=e^{\alpha x}x(A_m\cos \beta x+B_m\sin \beta x)$
如果 $\alpha \pm i\beta$ 是 $k$ 对特征根	$y^{\ast }=e^{\alpha x}(x^k)(A_m\cos \beta x+B_m\sin \beta x)$

在遇到右边是两个类型的函数，就分成两个方程来做，利用叠加原理

欧拉方程

对于 $a_0{x}^n{y}^{(n)}+a_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_n{x}^{0}y=0$

令 $x=e^t$，则上面方程的每一项可以简化成下面这样 $x^k{y}^{(k)}=D(D-1)\dots (D-k+1)y$，其中 $D=\frac{d}{dt},D^n=\frac{d^n}{d{t}^n}$

再带回去原来的方程，得到 $(d_0+d_{1}D+d_2{D}^2+\cdots +d_n{D}^n)y=0$

那么 $\frac{dy}{dt}$ 的特征方程就是 $d_n{\lambda }^n+\cdots +d_1{\lambda }_1+d_0=0$ 这样就能求出 $y(t)$ 的通解，然后再代入 $x=e^t$ 得到 $y(x)$ 的通解

一些不太重要的

如果知道这样一个初值问题 $\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\ y_0(x)=y_0\end{array}$，那么就可以用下面的递推式依次递推去近似解出原函数 $y_n(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(x,y_{n-1}(x))dx$ 先代入 $y_0(x)$ 求 $y_1(x)$ 开始，依次递推求解

如果想要知道解的区间，就还得知道这个初值点所在的区间 $R:\{\begin{array}{l}\mid x-x_0\mid \le a\\ \mid y-y_0\mid \le b\end{array}$ 然后这个解就落在 $\mid x-x_0\mid \le h$ 其中 $h=\min \left(a,\frac{b}{f_{MAXinR}(x,y)}\right)$

对于二阶线性齐次方程 $y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$，$W(x)=W(x_0)e^{-{\int }_{x_0}^{x}P(t)dt}$ 其中 ${\varphi }_1(x)$ 和 ${\varphi }_2(x)$ 是方程的两个解 $W(x)=\left|\begin{array}{cc}{\varphi }_1(x)& {\varphi }_2(x)\\ {\varphi }_1^{\prime }(x)& {\varphi }_2^{\prime }(x)\end{array}\right|$ 如果 ${\varphi }_1(x)$ 和 ${\varphi }_2(x)$ 是线性相关的，那么 $W(x)=0$ 如果 ${\varphi }_1(x)$ 和 ${\varphi }_2(x)$ 是线性无关的，那么 $W(x)\ne 0$，而且 ${\varphi }_1$ 和 ${\varphi }_2$ 也不会存在公共零点

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 存在唯一解 $y=\varphi (x)$ 则当 $0=\varphi (x_0)$ 时，${\varphi }^{\prime }(x_0)\ne 0$； 是这样吗，问问