多重积分

笔记来源	讲课老师
中山大学工科高数课堂	@杨奇林

多重积分要学会认识退化，把多重积分退化成二重积分，二重积分退化从一重积分 要知道把区域从标准的形状退化成特殊的情况

要重点记忆二重积分和三重积分几个经典模型的图形，要先认清那些图形来找到对应的方法 至于计算那就是后话了

一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性

区域对称性	被积函数对称性	化简的效果	提示
关于$x$ 偶对称	有关于$x$ 奇对称的部分	那一部分积分值为0，不用算	关于积分区域关于 $x$ 和$y$ 都是偶对称的情况也适用，注意找全可以消掉的地方
关于$x$ 偶对称	有关于$x$ 偶对称的部分	那一部分的积分上下限可以缩减一半，只用积分值$\times 2$ 来补充，一般用来去掉绝对值
关于$x$ 和$y$ 都是偶对称	有关于$x$ 和$y$ 都是偶对称的部分	那一部分的积分上下限可以缩减到$\frac{1}{4}$，只用积分值$\times 4$ 来补充，一般用来去掉绝对值

计算二重积分$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy$

二重积分的几何意义就是求一个底面区域到顶面的体积，其中的被积函数就是顶面的方程、积分范围是底面区域、面积微元就是底面区域的面积微元

计算二重积分的关键就在于抓准底面区域的边界 一定要注意区域边界退化的情况(线退化成点，面退化成线)

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=底面区域\{\begin{array}{l}选x-区域，把x看成常数，把y积掉:{\int }_a^{b}dx[{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)dy]\\ 选y-区域，把y看成常数，把x积掉:{\int }_c^{d}dy[{\int }_{{\varphi }_1(y)}^{{\varphi }_2(y)}f(x,y)dx]\end{array}$$

记忆这个公式的方法就是，选定区域后先写最外面的一层积分，最外面的一层积分是常数。 然后再写里面的对被积函数的积分，里面的积分上下限是根据区域边界的函数线。 注意写积分上下限的时候要注意方向(这个看区域边界的方向)

对于一般的多重积分，要从最里面的往外开始计算(三重积分化简到二重积分里面用得到)

$$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}dy{\int }_{{\varphi }_1(x,y)}^{{\varphi }_2(x,y)}f(x,y,z)du\end{array}$$

要先计算最里面的那个

1.首先找准被积函数$f(x,y)$

看准被积函数$f(x,y)$是长啥样的，注意分析$f(x,y)$的$x,y$ 变量是否是相互独立的 如果发现$x,y,z$ 是相互独立的，原来按顺序积分的二重积分就可以化简成两个相乘的一重积分

$$\begin{array}{r}因为x,y,z相互独立，所以f(x,y,z)=p(x)g(y)h(z)\\ \underset{D}{\iint }f(x,y,z)dxdydz=\int p(x)dx\int g(y)dy\int h(z)dz\end{array}$$

比如$f(x,y)=e^{x+y}$ 就是相互独立的，可以拆成$f(x,y)=e^x.e^y$

然后再看看被积函数$f(x,y)$ 关于$x,y$ 变量是不是奇对称或者偶对称的，注意这一步可以先把整体的$f(x,y)$ 看着拆分成一个个关于$x$ 或$y$ 的小单元，只要有一个单元有对称性就是胜利

2.然后分析$D$区域的边界

一定要通过分析各个积分上下限列出各个变量的不等式，然后把区域$D$ 画图画出来 之后好好分析区域的边界

注意，还要根据积分上下限得出的描述区域的方程看一下，区域$D$ 是否关于$x,y$ 变量具有奇对称or偶对称，如果有对称性就是幸运中的幸运

在$xoy$ 平面中，这些区域的边界就是 $\boxed{过轴上两个点的竖线+两条函数线}$ 也就是说 $x-$区域 就是 $过x轴上两个点的竖线+两条y=\varphi (x)函数线$ 相应的 $y-$区域 就是 $过y轴上两个点的竖线+两条x=\varphi (y)函数线$

注意区域边界从线退化成点的情况(就比如矩形退化成三角形，有一条线退化成点)，也就是说对于那两条竖线，有时候不一定只有 $x=Const$ 或者 $y=Const$ 之类的符合区域图形的竖线，有时候也要把它们看成过区域图形某个点的切线

然后决定是以 $x-$区域 还是 $y-$区域 去做，注意看清 $x,y$ 变量的取值范围 最好选择的区域的函数曲线是统一的线形，尽量不要有分段函数(如果没办法的话，注意最外层的拆分积分上下限来对应不同的曲线来做)

3.先写${\int }_a^{b}dx$或者${\int }_c^{d}dy$

这个积分号上下限的顺序很重要，这个上下限一定要是常数

而且它们的顺序就反应了区域边界的顺序，越靠近坐标轴的边界越大(选择上限的位置)

4.再根据区域边界的函数曲线方程反解，然后写${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)dy$或者${\int }_{{\varphi }_1(y)}^{{\varphi }_2(y)}f(x,y)dx$

如果之前写的是${\int }_a^{b}dx$，就根据方程反解出$\{\begin{array}{l}y={\varphi }_1(x)\\ y={\varphi }_2(x)\end{array}$ 然后把$f(x,y)dy$里面的 $x$ 当成参数，对 $y$ 积分把 $y$ 积掉

如果之前写的是${\int }_c^{d}dy$，就根据方程反解出$\{\begin{array}{l}x={\varphi }_1(y)\\ x={\varphi }_2(y)\end{array}$ 然后把$f(x,y)dy$里面的 $y$ 当成参数，对 $x$ 积分把 $x$ 积掉

这样子就把二重积分换成一重积分了

5.遇到积分积不出的被积函数改变积分次序————难点

有些被积函数是积分不了的，这时候就要换不同区域边界的次序来做(比如把$x-$区域换成$y-$区域)，目的就是不要把那些积分不了的函数放在最里面那一层

积不出的函数
$\boxed{\int e^{+-x^2}dx}$	$\boxed{\int \frac{\sin x}{x}dx}$	$\boxed{\int \frac{1}{\ln x}dx}$	$\boxed{\int e^{\frac{1}{x}}dx}$

改变积分区域次序的时候，要先从积分的上下限写出不等式，再根据不等式的等号情形的方程画出区域图，然后找准边界，这样才可以方便地改变次序

6.遇到凹进去的区域要切割成几个凸类型的图形

通常是采取切线或者啥的竖线或者横线切割

7.对称性————用的最多

如果把一个式子$g(x,y)$ 的 $x$ 替换为 $-x$，式子的值还是没有变$g(-x,y)=g(x,y)$ 那么就说式子$g(x,y)$ 是关于 $x$ 偶对称的

所以如果把一个式子$g(x,y)$ 的 $x$ 替换为 $-x$，式子的值变成$g(-x,y)=-g(x,y)$ 那么就说式子$g(x,y)$ 是关于 $x$ 奇对称的

在计算二重积分时，要先根据表达式/积分上下限范围判断区域边界的对称性，然后再判断被积函数的对称性，据此来避免一些不必要的计算

区域对称性	被积函数对称性	化简的效果	提示
关于$x$ 偶对称	有关于$x$ 奇对称的部分	那一部分积分值为0，不用算	关于积分区域关于 $x$ 和$y$ 都是偶对称的情况也适用，注意找全可以消掉的地方
关于$x$ 偶对称	有关于$x$ 偶对称的部分	那一部分的积分上下限可以缩减一半，只用积分值$\times 2$ 来补充，一般用来去掉绝对值
关于$x$ 和$y$ 都是偶对称	有关于$x$ 和$y$ 都是偶对称的部分	那一部分的积分上下限可以缩减到$\frac{1}{4}$，只用积分值$\times 4$ 来补充，一般用来去掉绝对值

8.换元成极坐标

极坐标在计算形式上把圆形区域转换成矩形区域 注意，前面对在$xoy$平面中 $x-$区域 和 $y-$区域 的理论都适用

注意换元的步骤，一换面积微元、二换积分上下限，三换被积函数

1. 关键在于替换面积微元，在直角坐标中的$dxdy$ 要换成极坐标的面积微元$\boxed{rd\theta dr}$，注意别漏 $r$，有它才算极坐标面积微元
2. 一般选取$d\theta$ 在外层，注意极坐标下把$r$ 看成从原点出发的向量，注意 $r$ 的取值范围从原点开始，直到边界

换元后大概是下面这么个形式

$$\begin{array}{r}{\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_0^{r(\theta )用\theta 表示r}f(r,\theta )\cdot rdrd\theta \end{array}$$

还可以记一下与$y$ 轴相切的圆大概是$x=a\cos \theta$ 与$x$ 轴相切的大概是$a\sin \theta$

注意了，在极坐标下，如果 $\theta$ 的取值是 $0\to 2\pi$ 的话，那么 $r$ 只能永远大于0，只能要半边

极坐标中常见的积分

积分	结果
$\int {\cos }^2\theta d\theta$	$\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin 2\theta$

9.一般情况的换元

关键在于替换面积微元，可以利用雅可比行列式进行替换

$$\begin{array}{r}\boxed{J(雅可比行列式)=\frac{面积微元}{面积微元}=\frac{dudv}{dxdy}=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}{u}_x& v_x\\ u_y& v_y\end{array}\right|}\end{array}$$

所以变换面积微元的时候先写$dudv\cdot \frac{dxdy}{dudv}$ 再计算对应雅可比行列式。

具体而言就是对换元的多元方程求微分计算偏导，如果直接计算这个雅可比行列式的式子偏导比较难求，可以采用取倒数来计算新的雅可比行列式，这是一个重要的技巧

$$\begin{array}{r}\boxed{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\frac{1}{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}}\end{array}$$

10.利用二重积分算一重积不出来的函数

利用先确定一个有限的区域范围，求这个区域的二重积分(该二重积分可以被拆开成我们要的目标)，然后把有限的范围参数取极限到无穷

如果要求${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx$，就可以构造一个区域$D:x^2+y^2\le R$ 在进行二重积分，最后让$R$ 取 $\infty$

\iint \limits_{D} e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=4\int_{0}^{R}e^{-x^{2}}dx\int_{0}^{R}e^{-y^{2}}dy \end{align*}$$ 常用积分结果结论 | 积分 | 结果 | | ------------------------------- | ---------------------- | | $\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$ | $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ | ## 11.计算区域为椭圆的二重积分 第一种方法是使用特殊的极坐标转换，对于区域为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 应该采取$\begin{cases}x=ar\cos\theta \\y=br\sin\theta\end{cases}$的换元，这方法计算雅可比行列式比较麻烦，可以直接记住下面的结论

\boxed{dxdy=abr ·drd\theta}

第二种方法就是使用两次换元 先是$\begin{cases}x=au \\ y=bv\end{cases}$ 把椭圆变成圆形，然后再对圆形的式子用正常极坐标换元 # 计算三重积分$\iiint \limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$ 三重积分的几何意义就是对一个体积区域 $\Omega$ 根据某个密度来重新计算一个对应的值出来 因为三重积分是三重的(~~废话~~)，而我们的目的是要把它拆分成三个一元积分，于是可以把一次三重积分拆分成一次一重积分和一次二重积分($3=1+2$)，这样再计算二重积分就可以达到($3=1+1+1$)的效果啦。于是计算三重积分的方法就只有下面的两种($3=2+1=1+2$) 如果先算一重积分再算二重积分($3=1+2$)，就是所谓的投影法 如果先算二重积分再算一重积分($3=2+1$)，就是所谓的截面法 ## 1.用投影法计算$\iint \limits_{D} dxdy[\int_{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz]$ 投影法就是仙女棒从顶上往下烧的感觉 先依照 $\Omega$ 的上面和下面的形状定制计算一个竖直的仙女棒(让$z$ 先从下面积分到上面) 然后再把计算各个竖直高度上按照形状扩散出去的水平区域(之后$xoy$平面的计算二重积分) 如果要使用投影法，需要让那个 $\Omega$ 体积的**侧面是竖直的(侧面可以退化成一条边缘线，比如从长方体退化成直角三棱锥，而如果是线的话，自然也是满足侧面竖直的)**，让侧面竖直是为了让我们找到投影出来的底面区域$D$。 还需要 $\Omega$ 体积的**上面的面方程和下面的面方程已知**，这是为了计算最里面的那个积分的上下限。如果遇到侧面退化成线的情况的话，那和线相邻的面分别就是下面和上面了(当然啦，毕竟和侧面相邻的就是这两个家伙嘛) 注意，**侧面**就是和投影面竖直匹配的那个东西(可以是真正竖直的面或者就是一条线)，侧面、上面、下面的方程要严格按照 $\Omega$ 给出的条件选取。 而且要小心遇到**上下面的方程是分段方程**的情况。与侧面相邻的面固然是上面或者下面，但是如果根据侧面判断完相邻的面后，还剩下的面也是算入上下面里面的。最典型的例子就是圆台，它的侧面是退化成最外围的轮廓线，肯定还有一个和侧面不相邻的面剩下来(比如是个上宽下窄圆台的话，描述下面的方程就有两段，就会造成要对投影下来的区域分段讨论、分投影区域对应不同方程的下面) 总结一下，遇到三重积分要使用投影法的条件就是 1. 侧面要和底面垂直(这在题目中基本都是遇到侧面退化成线的情况，要醒目哦) 2. 上下面的方程要容易写出来(最好是统一的，不要分段) 3. 投影下来的区域要好算 ## 2.用截面法计算$\int_{z_{1}}^{z_{2}}dz \iint \limits_{D(z)}f(x,y,z)dxdy$ 截面法就是拿两个平面夹住的感觉 先计算某一个高度下的水平区域(先在某一个$z$ 值下的$xoy$ 平面进行二重积分) 然后再把这个水平区域在竖直方向上拉长填充到上面和下面(再把$z$ 从一个值到另一个值积分) 首先要保证 $\Omega$ 的上面和下面都是水平的，如果不是水平的、平行于坐标平面的就用不了这个截面法。然后要确定$z$ 的变化范围。 其次在写这个关于$x$ 和$y$ 的二重积分的时候，这个二重积分的区域就是之前的方程把$z$ 当成参数/常数来处理得到。然后要单独画好积分区域的图 总结来说，遇到三重积分使用截面法的条件就是 1. 上面和下面都是**水平**的(基本上在题目中遇到都是退化成一点，要醒目哟) 2. 从$z_{1}$ 到$z_{2}$ 的任意时刻$D(z)$ 方程都是**统一的，并且容易写出来** ## 3.对称性 和二重积分类似，对称性的本质就是抓紧区域对称性和被积函数对称性的关系，还是那个表格 一种应用场景是把一个幂次方式子拆成几个多项式，对拆出来的项单独分析 | 区域对称性 | 被积函数对称性 | 化简的效果 | 提示 | | ---------------- | -------------------- | -------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------- | | 关于$x$ 偶对称 | 有关于$x$ 奇对称的部分 | 那一部分积分值为0，不用算 | 关于积分区域关于 $x$ 和$y$ 都是偶对称的情况也适用，注意找全可以消掉的地方 | | 关于$x$ 偶对称 | 有关于$x$ 偶对称的部分 | 那一部分的积分上下限可以缩减一半，只用积分值$\times 2$ 来补充，**一般用来去掉绝对值** | | | 关于$x$ 和$y$ 都是偶对称 | 有关于$x$ 和$y$ 都是偶对称的部分 | 那一部分的积分上下限可以缩减到$\frac{1}{4}$，只用积分值$\times 4$ 来补充，**一般用来去掉绝对值** | | 在三重积分还没开始化简的时也可以使用对称性，这时候的区域对应的是一开始的立体区域$\Omega$ 而且要注意，**在使用$\Omega$区域的对称性来舍去其一些部分时，要注意被积函数是不是也有与$\Omega$ 区域匹配的对称性，如果没有就是不等效的**。不然在下面到上面的积分是不一样的，不能代替 在使用轮换对称的时候要小心，很有可能由于对应关系不等效 ## 4.把三重积分拆出二重积分后对二重积分使用极坐标 其实不推荐直接使用 "柱坐标系" 对三重积分拆成三个一重积分 而是推荐按照之前投影法和截面法的分析逻辑，先拆分出一个二重积分后再利用极坐标的计算去化简 ## 5.球坐标系 记住球坐标系下的体积微元 $dV=r^{2}·\sin \phi ·dr ·d\phi ·d \theta$，然后顺便记住坐标对应的转换关系

\begin{cases}x=r \sin \phi ·\cos \theta \ y=r \sin \phi ·\sin \theta \ z=r \cos \phi\end{cases}

注意，$z$ 一定是等于$\boxed{r \cos \phi}$ 注意角度不要搞错了 遇到有球的一部分的体积就可以考虑用球坐标系 1. 把体积微元 $dV$($dxdydz$) 替换成 $r^{2}·\sin \phi ·dr ·d\phi ·d \theta$ 2. 然后根据坐标关系把 $x,y,z$ 带换成 $r,\phi,\theta$ 3. 之后把它看成正常的三重积分 一般是在一个固定的 $\theta$ 角度去截取这个体积的一个切面 所以 $\theta$ 看起来就像高一样，然后 $r,\phi$ 就像在一个给定的 $\theta$ 角截面出来的图形的长和宽 一定要去画出来这个给定的 $\theta$ 角截面出来的图形，注意了，那个图形不是真正的截面，是有特殊要求的。**因为 $\theta$ 角的旋转范围是$0\to 2\pi$，所以这里的 $r$ 是永远大于0的，只能有半边，而且不要漏掉$\phi$ 可以从$0 \to 180°$(也就是那个图形是一四象限都有的)** ## 杂项 先想象或者画出 $\Omega$ 的形状，看看能不能利用一些对称性，注意分析一些退化的点线面，判断是用投影法还是截面法，或者使用球坐标系，然后画出二重积分区域图，在计算二重积分时考虑还能不能使用对称性或者极坐标化简 | 常见的 $\Omega$ 表达式 | 对应的形状 | 记忆提示 | 常用方法 | | ---------------------- | ----- | --------------------- | ------------------------ | | $z=x^{2}+y^{2}$ | 旋转抛物面 | | 和球在一起就球坐标系、只有单独的就截面法 | | $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ | 圆锥 | 分别令$x=0$或者$y=0$ 看出轮廓线 | 和球在一起就球坐标系、只有单独的就截面法 | | | 椭球/圆球 | | 先把椭球变成球，之后使用球坐标系、或者使用截面法 | | | 圆台 | | 割补法，用大圆锥减去小圆锥 | | | 球壳 | | 割补法，用大圆球减去小圆球 | 复习一些二次曲面的方程、遇到拿不准的方程分别令$x=0$或者$y=0$ 看出轮廓线 壳形体积，圆台形体积或者圆环形的区域可以拆分成一个积分减去一个积分，使用割补法计算 如果体积区域 $\Omega$ 同时关于 $x,y,z$ 轴对称，那么有下面的公式

\iiint \limits_{\Omega} x^{2}dV=\iiint \limits_{\Omega} y^{2}dV=\iiint \limits_{\Omega} z^{2}dV

# 计算一些物理量 下面是用多重积分计算物理量的常用算式 | 计算物理量 | 公式 | | ------------ | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | | 质量 | $M=\iiint \rho(x,y,z) dV$ | | 质心 | 解三个方程 $0=\begin{cases}\iiint (x-x_{0})\rho(x,y,z) dV \\ \iiint (y-y_{0})\rho(x,y,z) dV \\ \iiint (z-z_{0})\rho(x,y,z) dV\end{cases}$ | | 对 $z$ 轴的转动惯量 | $J_{z}=\iiint (x^{2}+y^{2})\rho(x,y,z)dV$ |