曲线积分和曲面积分 v1.0

笔记来源	讲课老师
中山大学工科高数课堂	@杨奇林

在写这一章的题目的时候，要常常去复习一下多重积分。不然式子列出来了但写不动啊

一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性，一定要注意对称性

区域对称性	被积函数对称性	化简的效果	提示(利用积分的线性可拆分性)
关于$x$ 偶对称	有关于$x$ 奇对称的部分	那一部分积分值为0，不用算	关于积分区域关于 $x$ 和$y$ 都是偶对称的情况也适用，注意找全可以消掉的地方
关于$x$ 偶对称	有关于$x$ 偶对称的部分	那一部分的积分上下限可以缩减一半，只用积分值$\times 2$ 来补充，一般用来去掉绝对值
关于$x$ 和$y$ 都是偶对称	有关于$x$ 和$y$ 都是偶对称的部分	那一部分的积分上下限可以缩减到$\frac{1}{4}$，只用积分值$\times 4$ 来补充，一般用来去掉绝对值

华里氏(Wallis)公式和它的伙伴们	使用场景
$<br>{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}...<br>$	极坐标下，利用对称性把角度的积分上下限变成$0\to \frac{\pi }{2}$来使用
上面的式子是点火公式，如果倒数到 1 就可以点火(乘 $\frac{\pi }{2}$)	遇到根号使用三角换元，把积分上下限变成$0\to \frac{\pi }{2}$来使用
$<br>{\int }_0^{2\pi }\cos (n\theta )d\theta ={\int }_0^{2\pi }\sin (n\theta )d\theta =0<br>$
$<br>{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^m\theta {\cos }^n\theta d\theta =\frac{\Gamma \left(\frac{m+1}{2}\right)\Gamma (\frac{n+1}{2})}{\Gamma (\frac{m+n+2}{2})}<br>$

第一型曲线积分${\int }_{L}f(x,y,z)dS$

第一型曲线积分的意思就是，被积函数$f(x,y,z)$ 沿着任意一条曲线路径都可以积分。也就是得到这个式子：${\int }_{L}f(x,y,z)dS$，这时候积分的微元是曲线微元$dS$

$$\boxed{dS=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2+(dz{)}^2}}$$

然后要利用曲线路径的方程消元，消去被积函数$f(x,y,z)$ 和曲线微元$dS$ 中的其他变量，变成单变量的一元定积分式子

在写积分上下限时也要注意了，第一型曲线积分是有固定一个的方向的，都是往正方向积分 所以无论是${\int }_{AB}$ 还是${\int }_{BA}$ ，在第一型曲线积分都是往正方向积分的，和下标是$AB$还是$BA$无关

消元思路	积分方向	适合的场景
直接在 $x,y,z$ 中选一个来表示其他的	选 $x$ 的话就往 $x$轴 正方向积分(${\int }_{x小的}^{x大的}$)	二维平面，只有 $x,y$ 两个变量比较适合
设一个参数 $t$ 来表示其他变量	这个 $t$ 的上下限方向要保证用 $t$ 表示的 $x,y,z$ 都是往正方向积分的	遇到空间中的直线方程 $\frac{x-x_0}{k_x}=\frac{y-y_0}{k_y}=\frac{z-z_0}{k_z}$ 让它 $=t$ 来表示$x,y,z$
用极坐标 $r,\theta$	要保证 $\theta$ 是以逆时针方向积分的($\theta$ 的正方向是逆时针旋转)	遇到圆和球吧

第一型曲线积分也是有对称性的，这时候它的积分区域是一条曲线的方程，也就是说在多重积分里面讨论的积分区域的对称性和被积函数的对称性相匹配的关系还是适用的

第二型曲线积分${\int }_{\overrightarrow{AB}}(Pdx+Qdy)$

第二型曲线积分其实就是一个被积函数向量在路径向量积分。实际计算起来就是以 被积函数的向量各个分量($P$ 和 $Q$) 去积分 路径微元向量的对应分量($dx$ 和 $dy$)，被积函数是一个向量，积分微元也是一个向量，所谓的第二型曲线积分就是去积分它们点乘的结果而已。这在物理上有这么一个理解方式

$$\boxed{合力做功(沿着路径向量)=\sum 合力分量做功(沿着对应路径的分量)}$$

	被积函数(向量)	路径上的微元向量	第二型曲线积分
二维平面$(\vec{i},\vec{j})$	$\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$相当于把被积函数正交分解到 $x$轴 和 $y$轴	从$A$到$B$的有向路径($\overrightarrow{AB}$)注意，路径可以是曲线$d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}$	${\int }_{\overrightarrow{AB}}\vec{F}(x,y)d\vec{r}={\int }_{\overrightarrow{AB}}(P(x,y)dx+Q(x,y)dy)$简写为 ${\int }_{\overrightarrow{AB}}(Pdx+Qdy)$，但实际 $P,Q$ 都是和 $x,y$ 有关的二元函数

也就是说第二型曲线积分就是在积分路径分解出的各个方向上点乘的积分

$${\int }_{\overrightarrow{AB}}(Pdx+Qdy)={\int }_{x_A}^{x_B}Pdx+{\int }_{y_A}^{y_B}Qdy$$

只要把积分路径分解出的各个不同方向分量的点乘加起来就是结果了

而且积分路径($\overrightarrow{AB}$)可以是直线或者是曲线，这里用 $\overrightarrow{AB}$ 表示从 $A$ 到 $B$ 的有方向的路径，从 $A$ 到 $B$ 到底是直线还是曲线，要看具体的方程。不要把从 $A$ 到 $B$ 的有方向的路径和$\overrightarrow{AB}$向量 搞混了，积分路径的方程不一样，积分的意义也不一样

注意了，与第一型曲线积分只注意积分路径的方程不同，第二型曲线积分就要注意积分路径的方程+路径的方向了。而路径的方向(是 $\overrightarrow{AB}$ 还是 $\overrightarrow{BA}$)不一样则会出来一个负号，比如 ${\int }_{\overrightarrow{AB}}(Pdx+Qdy)=-{\int }_{\overrightarrow{BA}}(Pdx+Qdy)$

所以特别要注意题目给出的路径方程的方向，看清楚该积分路径在坐标轴上投影的方向。然后分别让各个分量方向的积分上下限符合路径曲线延申的方向(也就是说要根据积分路径的方向写出${\int }_{x_A}^{x_B}$和${\int }_{y_A}^{y_B}$)

在计算其中一个分量方向的点乘时，其实就是在计算一个一元定积分，而在计算这个一元定积分时，其他的未知数要用积分的路径方程来进行消元，这边建议统一用一个未知数来计算各个方向分量的积分。比如在计算 ${\int }_{x_A}^{x_B}Pdx$ 时，自然要用积分路径$\overrightarrow{AB}$ 的方程来消$P(x,y)$中的$y$ ，但是在计算${\int }_{y_A}^{y_b}Qdy$ 时，也是用积分路径方程来消掉 $y$ 和 $dy$ (得到$dy$ 需要对积分路径方程求微分)，这样整个式子的积分上下限就都是 ${\int }_{x_A}^{x_B}$ 了

消元的方法	方向的要求
全部替换成 $x$	只用看好积分路径中 $x$ 的方向，用积分路径方程去用 $x$ 表示其他分量时($y,z$) 时，已经自动算好其他分量的方向了
用一个参数 $t$ 来表示 $x,y,z$	积分上下限就是 $t$ 让路径曲线延申的方向

对于一个比较绕来绕去，一般采取对积分路径进行分段的方法来进行积分。

遇到的题目大概都是直接给你被积函数已经分解成各个分量积分的式子，并且告诉你路径方程和方向 比如${\int }_{\overrightarrow{AB}}(Pdx+Qdy)$，总结下来做题流程就是

1. 先看清被积函数的各个分量 (也就是看清 $P(x,y)dx$ 和 $Q(x,y)dy$)
2. 尽量画图确认路径的形状和方向
3. 看看是不是可以用格林公式，或者把路径拆成多个分段分别计算
4. 然后在各个分段中看清路径的方向来分别决定分量点乘积分的上下限(也就是决定$\int Pdx$的上下限 ${\int }_{x_A}^{x_B}$ 和 $\int Qdy$的上下限 ${\int }_{y_A}^{y_B}$)
   1. 如果沿着某个分段的路径方向时 $x$ 值没变化，那么 $dx=0$ 这个二重积分式子可以化简成${\int }_{\overrightarrow{AB}}(Pdx+Qdy)={\int }_{\overrightarrow{AB}}(Qdy)$
   2. 如果沿着某个分段的路径方向时没有 $dx=0$ 之类的，在处理 $P,Q$ 这种二元函数时要用路径的方程消元
   3. 如果是用 $t$ 参数来表示三维空间的各个 $x,y,z$ 分量的话，那积分上下限就是 $t$ 让路径曲线延申的方向

由于$\{\begin{array}{l}dx=dS\cdot \cos \alpha \\ dy=dS\cdot \cos \beta \\ dz=dS\cdot \cos \gamma \end{array}$，所以实际上第二型曲线积分也可以转化成第一型曲线积分 并且第二型曲线积分向量的方向其实就是隐含在余弦值($\cos$)里面了

格林公式

一般使用格林公式就是要注意$\{\begin{array}{l}抠掉不连续点\\ 注意加辅助线\\ 把二重积分换成曲线积分\\ 看看是否路径无关\end{array}$

首先面对一条曲线路径，经常添加辅助线来构成一个封闭图形，常用的辅助线就是横线+竖线的折线

然后面对写成这样的式子${\oint }_{L^{+}}(Pdx+Qdy)$，先写个$\underset{D}{\iint }()dxdy$先 直接把 $dy$ 前面的一坨求个对 $x$ 的偏导放前面 再减去 $dx$ 前面的一坨求个对 $y$ 的偏导，成了

1.记忆格林公式

首先要知道 $L^{+}$ 的概念(不懂的翻书吧) 其实说白了 $L^{+}$ 就是代表一个区域 $D$ 的边界向量，符号写成 $L^{+}=\partial D$ $L^{+}$ 的方向是沿着外层边界逆时针转的，但却围着内层边界顺时针转

就比如一个甜甜圈区域，$L^{+}$这个边界向量有两圈，外面一圈的方向是逆时针，里面一圈的方向是顺时针；而 $D$ 就是两圈边界之间的圆环形区域

然后还要知道面积微元 $dS=dxdy$ 这 $dx$ 和 $dy$ 之间是叉乘($\times$)的关系 交换 $dx$ 和 $dy$ 的顺序是要加负号的

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那么下面的式子就是格林公式，下面先讲怎么记忆这个公式

$$\begin{array}{r}如果在曲线包围的区域D的内任何一点都可以让每个偏导数(也就是\frac{\partial P}{\partial y}和\frac{\partial Q}{\partial x})连续\\ 那么:{\oint }_{L^{+}}(Pdx+Qdy)=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\end{array}$$

总而言之，记忆这个公式的方法就是要凑出来二重积分的面积微元 $dxdy$

首先先观察前面的 $(Pdx+Qdy)$，先聚焦 $dx$ 那一项先，发现那一项的微元只有 $dx$(废话) 那么对于 $dx$那一坨，要凑出二重积分的面积微元 $dxdy$，就要把 $P(x,y)$拆出有 $dy$ 的那一项

至于操作的方法，就是先取偏微分再积分回去。对于 $dx$ 来说，就是把 $dx$ 前面那一坨($P(x,y)$)来求个对 $y$ 的偏微分，再把偏微分的结果($\frac{\partial P}{\partial y}dy$)再积分(感性的理解就是式子的值还是变回去了，就单纯换了个形式)。所以总的来说$P(x,y)dx$ 经过拆的方法就会得到$\int \frac{\partial P}{\partial y}dydx$，因为$dydx\ne dxdy$，所以交换一下顺序就得到了$\int -\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

对于 $dy$ 那一项也是一样的变换，只不过刚好操作 $Q(x,y)dy$ 求出来的是 $\int \frac{\partial Q}{\partial y}dxdy$，一步到位，不用变换顺序增加负号

所以当我们终于有了 $dxdy$ 这个面积微元后，我们惊喜的发现 $dxdy$那一坨左边的积分号从一个变成了两个，这不就变成二重积分啦，可以用这种方法记忆格林公式

2.判断可不可以使用格林公式

一定要注意判断是不是可以使用格林公式，只有每个偏导数(也就是$\frac{\partial P}{\partial y}$和$\frac{\partial Q}{\partial x}$)在曲线包围的区域 $D$ 内都连续，才可以使用格林公式。

首先看看路径曲线的方向是不是正方向($L^{+}$)，如果不是的话就要加一个负号($-$)

然后记住如果一段曲线积分不是闭合的，可以添加一些简单的辅助线来构成闭合曲线

$$\begin{array}{r}\underset{添加辅助线后闭合区域内二重积分}{\iint }=\underset{添加辅助线后的闭合曲线积分}{\oint }=\underset{原来没添加辅助线的线积分}{\int }+\underset{辅助线的线积分}{\int }\end{array}$$

至于在区域 $D$ 内部连续的要求，其实说人话就是在区域 $D$ 内没有一个点让 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 或 $\frac{\partial Q}{\partial x}$不存在（最典型的就是区域 $D$ 内有一点刚好让 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 或 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 的分母为 $0$）

不过就算区域 $D$ 内有那么一个不连续的点也不用担心，只要曲线不是刚好经过那个不连续的点，就还是可以利用格林公式。具体的操作方法就是以那个不连续的点为圆心，在曲线包围的区域 $D$ 内部设置一个半径为 $r$ 的辅助圆形区域 $D_r$，这样外围曲线和辅助圆形之间的区域$D_{Left}$ ($D_{Left}=D-D_r$)就没有不连续的点了，就可以对外围曲线和辅助圆形之间的区域 $D_{Left}$ 使用格林公式

在使用辅助圆形隔离掉那个不连续的点之后，对 区域$D_{Left}$ 使用格林公式

$$\underset{外围曲线和辅助圆中间的区域(D_{Left})}{\iint }=\underset{外围曲线沿逆时针方向}{\oint }+\underset{辅助圆形沿顺时针方向}{\oint }$$

然后就只需要计算出二重积分 $\underset{外围曲线和辅助圆中间的区域(D_{Left})}{\iint }$ 和 曲线积分$\underset{辅助圆形沿顺时针方向}{\oint }$ ，就可以间接算出原来那个外围曲线的曲线积分了

3.用格林公式把二重积分变成曲线积分

如果遇到二重积分很难算的函数，就可以使用格林公式把二重积分变成曲线积分

二重积分难算的情况	例子	操作方法	例子
积分积不出来的函数
很难算的面积	椭圆面积	让 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1$	$\underset{D}{\iint }dxdy=\frac{1}{2}(xdy-ydx)$

4.常见曲线积分总结

积分	结果
${\oint }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$	$2\pi$

计算路径无关的曲线积分(常微分方程重点)

这里要求原函数，是解常微分方程最难的地方

如果第二型曲线积分 ${\int }_{\overrightarrow{AB}}$ 和从 $A$ 到 $B$ 的路径无关，那么 $\oint (过A,B绕一圈)=0$ 而因为 $\oint (过A,B绕一圈)=0$ 所以如果曲线积分可以用格林公式的话又等价于 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

那么这和常微分方程的关联就来啦，如果 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，那么 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 就可以写成一个函数 $U(x,y)$ 的全微分，也就是 $\{\begin{array}{l}dU=Pdx+Qdy\\ \frac{\partial u}{\partial x}=P,\frac{\partial u}{\partial y}=Q\end{array}$

那么就可以利用这个原函数$U(x,y)$ 来计算满足上述条件的第二型曲线积分的值 ${\int }_{\overrightarrow{AB}}Pdx+Qdy={\int }_{A(点A(x_1,y_1))}^{B(点B(x_2,y_2))}du=U(B)-U(A)$

这个方法的关键就是拿到 $Pdx+Qdy$ 要找出原函数 $U(x,y)$，这也是解常微分方程的重点考点，下面有三种方法来操作

找出原函数$U(x,y)$的方法	适用场景
凑微分	多项式、简单的三角或者指数函数
选个特殊起点积分到 $(X,Y)$
积几次分补一个 $\varphi (y)$ 解方程

1.选个特殊起点把 $Pdx+Qdy$ 积分到 $(X,Y)$

一般会选择一个特殊起点作为积分 $Pdx+Qdy$ 的起点，就比如$(0,0)$，那么就有

$$\begin{array}{r}{\int }_{(0,0)}^{(X,Y)}Pdx+Qdy={\int }_{(0,0)}^{(X,0)}Pdx+{\int }_{(X,0)}^{(X,Y)}Qdy=U(X,Y)\end{array}$$

这里的关键是不要把未知数搞混淆了，用大写的 $X,Y$ 表示积分上下限的点 这样只是求得一个原函数，再加上一个常数就可以求得原函数的通解

2.积几次分补一个 $\varphi (y)$ 解方程

这里的做法是先固定$y$，对$\frac{\partial u}{\partial x}dx$ 积分，也就是对 $Pdx$ 积分得到$\{\begin{array}{l}\int Pdx=u_1(x,y)\\ U(x,y)=u_1(x,y)+\boxed{\varphi (y)}\end{array}$

然后再对得到的 $u_1(x,y)+\varphi (y)$ 对 $y$ 求偏微分得到一个$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+{\varphi }^{\prime }(y)$的值，而这个$\frac{\partial u}{\partial y}$ 值正好就是 $Q$，就可以解方程得到${\varphi }^{\prime }(y)$ 进而积分得到 $\varphi (y)$，从而得到真正的原函数 $U(x,y)$

这样做的解释就是，之所以有独立的关于 $y$ 的函数 $\varphi (y)$ 是因为我们是依据 $\frac{\partial u}{\partial x}dx$ 进行积分的，但是$\frac{\partial u}{\partial x}dx$并不是原函数的完整微分。这是因为在从原函数$U(x,y)$ 得到$\frac{\partial u}{\partial x}$时就已经丢掉了原函数关于 $y$ 的一些信息，所以为了得到原函数真正的值，我们要加上独立的函数 $\varphi (y)$ 作为待确定的补充，并在接下来的步骤中确定 $\varphi (y)$ 的值

3.凑微分 (后面用的最多)

只要遇到多项式、简单的三角或者指数函数，就可以去凑一凑 就比如 $du=(x^2+2xy-y^2)dx+(x^2-2xy-y^2)dy$ 把它拆开 可以找到只含对应项的直接凑微分，就比如 $x^{2}dx=d(\frac{1}{3}{x}^2)$ 和 $-y^{2}dy=d(-\frac{1}{3}{y}^2)$ 然后处理 $x$ 和 $y$ 和微分不是对应的部分，这就需要多试一试，就比如$\{\begin{array}{l}d(x^{2}y)=2xydx+x^{2}dy\\ d(y^{2}x)=2xydy+y^{2}dx\end{array}$

所以$du=d(d(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{3}{y}^3+x^{2}y-y^{2}x)$

4.把法方向的方向导数$\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}dS$变成$(P,Q)(dx,dy)$

奇奇怪怪的东西	解释	例子
梯度算子 $\nabla$	对向量求梯度，拜托说人话，就是对向量的各个分量求偏导的工具，$\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})$	$\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})$
拉普拉斯算子 $\Delta$	散度，放屁，说人话，就是求两次梯度(对向量各分量求两次偏导)$\nabla \cdot \nabla =\Delta =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})\cdot (\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})=(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2},\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})$	$\Delta u=\nabla \cdot \nabla u=(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})$
方向导数 $\frac{\partial u}{\partial \vec{a}}$	多元函数 $U(x,y)$ 在 $\vec{a}$ 向量方向上的导数，$\frac{\partial u}{\partial \vec{a}}=\nabla u.\vec{a}(的方向余弦)$

首先要清楚原函数 $U(x,y)$ 在 $\vec{n}$ 法向量方向的方向导数的概念，就是下面这个式子

$$\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}=\nabla u\cdot \vec{n}(的方向余弦)$$

而 $\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})$ 所以 $\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})$，为了把法向量换成 $dx,dy$，下面只需要用 $u,x,y$ 表示 $\vec{n}$，其中最核心的思想就是把法向量 $\vec{n}(的方向余弦)$ 替换成 切向量 $\vec{t}(的方向余弦)$，因为切向量有下面的式子

$$\begin{array}{r}\vec{t}(的方向余弦)=\frac{d\vec{r}}{|dr|}=\frac{d\vec{r}}{dS}=\frac{(dx,dy)}{dS}=(\frac{dx}{dS},\frac{dy}{dS})=(\cos \alpha ,\cos \beta )\end{array}$$

由于 $\vec{t}\cdot \vec{n}=0$，所以法向量为 $\vec{n}(的方向余弦)=(\frac{dy}{dS},-\frac{dx}{dS})=(\cos \beta ,\cos \alpha )$ 所以就可以把法方向向量的积分化简成下面的这样子

$$\begin{array}{r}{\int }_L\frac{\partial u}{\partial n}dS={\int }_L(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})\cdot (\cos \beta ,-\cos \alpha )dS\\ \\ ={\int }_L(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})\cdot (\frac{dy}{dS},-\frac{dx}{dS})dS={\int }_L(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})\cdot (dy,-dx)\end{array}$$

这里的关键就是把法向量 $\vec{n}$ 和切向量 $\vec{t}$ 的方向余弦互推一波，而再利用切向量 $(dx,dy)=\vec{t}\cdot dS$ 把法向量换成 $dx,dy$

至于从法向量的方向余弦替换成切向量的方向余弦的方法，一般是利用点乘 $\vec{t}\cdot \vec{n}=0$，或者是可能还扯上坐标轴方向向量 $\vec{i},\vec{j}$ 利用法向量和切向量成 90° 的几何关系，注意如果积分路径是 $L^{+}$ 的话，$\vec{t}$ 是要取逆时针方向；然后看清 $\vec{n}$ 是内法向量还是外法向量，总之画个示意图

在计算的时候要对 $\frac{\partial }{\partial x}$ 这一类的、 算子熟悉，就比如计算 $\frac{\partial }{\partial x}(u\cdot \frac{\partial u}{\partial x})$ 时，把 $u$ 和 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 都看成函数，来求偏微分

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial x}(u\cdot \frac{\partial u}{\partial x})& =\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+u\cdot \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=(\frac{\partial u}{\partial x}{)}^2+u\cdot \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\end{array}$$

x.做题流程总结

所以拿到一个 $Pdx+Qdy$ 之后，看看是不是 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

• 如果相等，曲线积分就是与路径无关，直接换一个好算的路径(横线+竖线)
• 如果那玩意相差为一些简单的式子，就可以考虑使用格林公式，转化成二重积分来做
  • 这时候要注意路径曲线经过不连续点，只要不经过就还有救
  • 还要注意添加一些辅助线来构成封闭区域

如果遇到二重积分很难算的函数，也可以使用格林公式把二重积分变成曲线积分

第一型曲面积分$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS$

如果把 $xyz$ 空间中曲面 $\sum$ 的面积微元 $dS$ 投射在 $xoy$ 平面上，那么原来的面积微元 $dS$ 可以用投影平面的面积微元 $dxdy$ 来表示

$$dS=\sqrt{1+Z_x^2+Z_y^2}\cdot dxdy$$

这里是把对表示曲面 $\sum$ 的方程取微分得到 $x,y$ 关于 $z$ 的偏导 $Z_x,Z_y$ (不一定要先表示成 $z=g(x,y)$) 再找准投影到 $xoy$ 平面上的投影区域 $A$ 的方程，一般是看出来的，不过有时候是令$z=0$

然后再消去原来的曲面积分被积函数除 $x,y$ 以外的变量

$$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{A}{\iint }f(x,y,g(x,y))\sqrt{1+Z_x^2+Z_y^2}\cdot dxdy$$

总结一下流程就是

1. 根据曲面 $\sum$ 的方程，先确定曲面的投影方向(往哪个平面投影)
2. 然后根据曲面 $\sum$ 的方程取微分计算 $dS$
3. 找准投影出来的区域方程 $A$，注意把投影区域的图形画出来
4. 根据投影到哪个平面消掉重写曲面 $\sum$ 的方程在被积函数中进行消元

关键是确定题目给的那些方程哪些是用来确定投影区域 $A$ 的形状，哪些是用来表示曲面 $\sum$ 的形状的

注意不要漏了一个曲面，看清所有要积分的曲面

参数式第一型曲面积分

参数式第一型曲面积分最关键的就是确定面积微元 $dS$ 如果 $x,y,z$ 三个未知数都用 $u,v$ 这两个参数表示，那么就用 $r$ 这个三维向量来表示这个参数式 $r\{\begin{array}{l}x=...(u,v)\\ y=...(u,v)\\ z=...(u,v)\end{array}$ ，用 $r_u$ 表示同时对 $r$ 的三个偏量用 $u$ 求导；用 $r_v$ 表示同时对 $r$ 的三个偏量用 $v$ 求导

那么 $xyz$ 空间中曲面 $\sum$ 的面积微元 $dS$ 就有 $dS=|r_u\times r_v|dudv$ 而$|r_u\times r_v{|}^2+|r_u\cdot r_v{|}^2=|r_u{|}^2|r_v{|}^2$，所以$|r_u\times r_v|=\sqrt{|r_u{|}^2|r_v{|}^2-|r_u\cdot r_v{|}^2}$

也就是说

$$dS=\sqrt{|r_u{|}^2|r_v{|}^2-|r_u\cdot r_v{|}^2}\cdot dudv$$

要发现区域的对称性，有时候得要赌一波啊啊啊啊啊。就比如区域是在圆锥面上的一部分，但是 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \sin \alpha \\ y=r\sin \theta \sin \alpha \\ z=r\cos \alpha \end{array}$ 又有点像球坐标系，这时候要赌一波对称性，不然被积函数太复杂做不了

1.对称性

这里指的是把第一型曲面积分，变成投影到坐标平面的二重积分时利用积分区域的对称性和被积函数的对称性

还要注意配合使用轮换对称性，如果投影出来的积分区域方程替换 $x$ 和 $y$ 的位置后，原来的方程值不变…

2.常见的第一型曲面积分的曲面

下面是常用的曲面面积微元的投射表示

曲面种类	投影出来的面积微元
球面	$dS=\frac{R}{\sqrt{R^2-(x^2+y^2)}}dxdy$

第二型曲面积分$\underset{\sum }{\iint }\vec{F}\cdot \vec{n}\cdot dS$

第二型曲面积分是向量点乘的积分，被积函数 $\vec{F}$ 是一个向量($\vec{F}\left(P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z)\right)$) ，它去点乘一个曲面 $\sum$ 上的面积微元向量 $\vec{n}\cdot dS$，这个微元向量的方向体现在曲面的法向量 $\vec{n}\left(cos\alpha cos\beta cos\gamma \right)$ 又因为法向量有指向曲面内侧和曲面外侧的两个方向，所以有下面这个式子 $(+-看法向量\vec{n}的方向)\{\begin{array}{l}\cos \alpha \cdot dS=dydz\\ \cos \beta \cdot dS=dxdz\\ \cos \gamma \cdot dS=dxdy\end{array}$ 也就是说 $\vec{n}\cdot dS=(+/-)\left(\begin{array}{c}dydz\\ dxdz\\ dxdy\end{array}\right)$ ，这里的正负号看法向量的方向，$dxdy$ 和 $dydx$ 的顺序不重要，效果都一样

所以第二型曲面积分，也就是向量点乘的积分，可以展开写成下面的样子

$$\begin{array}{r}\underset{\sum }{\iint }\vec{F}\cdot \vec{n}\cdot dS=\underset{\sum }{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS\\ =\boxed{(+/-)\underset{\sum }{\iint }Pdydz+Qdxdz+Rdxdy}\end{array}$$

注意！！法向量的方向决定框住式子的整体正负号，对于每一个积分曲面，都要从它自己的法向量判断，如果法向量从 $z$轴看是正方向，那么就整体的式子前面就是加正号。而从 $z$ 轴看是正方向的判断方法有两个

适用场景	判断方法
可以简单的画出图像	面的法向量和 $z$ 轴是锐角
直接给了法向量式子	这个法向量的 $z$ 分量就是正的($\vec{n}(-,-,+)$)

拿到这个式子$(+/-)\underset{\sum }{\iint }Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$，就要把曲面 $\sum$ 投影到一个坐标平面 $A$ 第二型曲面积分经过点乘之后会变成三个积分，注意这里有两种等效的操作方式

1. 先把这个第二型曲面积分拆分成三个积分，再分别看各自积分的曲面进行投影
2. 或者先把所有的积分曲面投影，再整体计算第二型曲面积分内部的三个积分，这两者的效果是一样的

所谓的投影其实就是坐标变换，通过方程消元实现，如果把三维空间的 $\sum (x,y,z)$ 曲面投影到 $D_{xy}$，其实就是利用 $\sum (x,y,z)$ 曲面的方程用 $x,y$ 表示 $z$，从而在原来的三元积分式子中消去 $z$ 表示成在 $D_{xy}$ 平面的二元积分

一般来说积分的变换要包含三个部分的变换(积分区域、积分微元、被积函数)，下面以把三维空间的 $\sum (x,y,z)$ 曲面投影到 $D_{xy}$ 为例详细介绍

首先根据积分曲面 $\sum$ 的方程，想好投影到 $D_{xy}$ 平面的投影区域(想象 or 整理方程)，画好投影区域的示意图

1. 如果遇到积分曲面 $\sum$ 上下侧的法向量方向不一样，要分为两个曲面计算。
2. 如果遇到积分曲面 $\sum$ 的面比较多的情况，要看清楚积分曲面 $\sum$ 各个面看投影出来有没有为零的内容，再看代入面的方程会不会让被积函数简化为零
3. 注意在划分所有积分曲面时，要对每一个你分出来的曲面各自重新判断法向量的方向，并重新计算投影出来的区域

然后把其他坐标平面的面积微元换算成 $D_{xy}$ 平面的面积微元 $dxdy$，这里是使用的方法就是类似前面变换积分微元的先除再乘的方法$\{\begin{array}{l}Pdydz=-Pdy\cdot \frac{dz}{dx}\cdot dx=-P\cdot Z_x\cdot dxdy\\ Qdxdz=-Q\cdot \frac{dz}{dy}\cdot dxdy=-Q\cdot Z_y\cdot dxdy\end{array}$ 简记的结果就是负号加偏导

$$\begin{array}{r}\boxed{(+/-)\underset{\sum }{\iint }Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=(+/-)\underset{D_{xy}}{\iint }[-P\cdot Z_x-Q\cdot Z_y+R]dxdy}\end{array}$$

接下来就是用曲面 $\sum$ 的方程把 $z$ 用 $x,y$ 消掉，进行二重积分的计算

总结一下做题的流程就是

1. 先判断法向量的方向，积分的曲面 $\sum$ 在外侧，或者法向量是与 $z$ 轴成锐角，整个式子前面是正
2. 然后确定投影到的平面，看清楚积分曲面 $\sum$ 各个面果遇到上下侧的法向量方向不一样，要分为两个曲面计算，再看各个曲面投影出来有没有为零的内容，再看代入面的方程会不会让被积函数简化为零， 注意在划分所有的积分曲面时，要对每一个你分出来的曲面各自重新判断法向量的方向，并重新计算投影出来的区域
3. 之后再求出积分曲面投影出来的区域的方程，画出示意图，并且变换面积微元

1.参数式第二型曲面积分

这里其实就是把$(+/-)\underset{\sum }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$ 里面的面积微元全部根据 $\{\begin{array}{l}x=...(u,v)\\ y=...(u,v)\\ z=...(u,v)\end{array}$ 替换成 $dudv$，这也是采取变换积分微元的先除再乘的方法 $\{\begin{array}{l}Pdydz=P\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}dudv\\ Qdzdx=Q\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}dudv\\ Rdxdy=R\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv\end{array}$

2.对称性

这里指的是把第二型曲面积分，变成投影到坐标平面的二重积分时利用积分区域的对称性和被积函数的对称性

还要注意配合使用轮换对称性，如果投影出来的积分区域方程替换 $x$ 和 $y$ 的位置后，原来的方程值不变…

3.常见的第二型曲面积分的曲面

面的类型	操作的方法
像柱一样垂直或水平的面	这种面投影到它垂直的坐标平面的投影面积为$0$
球面	上下侧的法向量方向不一样，要分为两个曲面计算(对每一个面看投影出来有没有为零的内容，再看代入面的方程会不会让被积函数简化)

高斯公式

高斯公式的特点和格林公式很像，都是要注意$\{\begin{array}{l}抠掉不连续的部分\\ 注意加辅助面\\ 把三重积分换成曲面积分\end{array}$ 在使用高斯公式前，一定要记得画个草图。 其实不仅仅是使用高斯公式要画图，其他情况也要画图哦

1.记忆高斯公式

高斯公式很有对称性，用得也比较多

$$\begin{array}{rl}\int \int {◯}_{S^{+}}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy& =\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV\end{array}$$

记忆方法就是这个公式有三项，每一项比如看 $Pdydz$ 缺 $dx$ 所以就在后面用 $\frac{\partial P}{\partial x}$ 补一个 $dx$

$$\begin{array}{rl}\int \int {◯}_{S^{+}}\vec{F}\cdot \vec{n}\cdot dS& =\int \int {◯}_{S^{+}}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\underset{\Omega }{\iiint }\nabla \cdot \vec{F}\cdot dV=\underset{\Omega }{\iiint }div\vec{F}\cdot dV\end{array}$$

这是用向量表示的高斯公式，要熟悉这种写法，一定是两个向量进行数量积的形式被积分 一般这种写法会遇到向量夹角的余弦值 $\cos <\vec{n},\vec{F}>$，注意用 $\cos <\vec{n},\vec{F}>=\frac{\vec{n}\cdot \vec{F}}{|\vec{n}||\vec{F}|}$ 代替就行了，如果 $\vec{n}$ 是单位向量，那么 $|\vec{n}|=1$

2.判断用不用高斯公式

首先要看清楚闭合曲面的法向量方向是不是朝向外侧，如果是朝向外侧的话，就放心冲吧。如果遇到闭合曲面是朝向内侧的，那就加个负号($-$)反向成朝向外侧就也可以使用了

然后要看清曲面是不是完全闭合的，如果曲面不是闭合的，就可以添加一个法向朝外侧的辅助面来构成一个闭合曲面

$$\begin{array}{r}\underset{添加辅助面后闭合区域内三重积分}{\iiint }=\int \int {◯}_{添加辅助面之后，法向朝外}=\underset{原来没添加辅助面，法向朝外}{\iint }+\underset{辅助面，法向朝外}{\iint }\end{array}$$

最后就是要看清闭合曲面内有没有不连续的部分，说人话就是有没有让 $\frac{\partial P}{\partial x}$ 之类的偏导数的不存在的部分，如果有的话也不要太担心，只要曲面没有经过那部分就行，如果不连续的部分正好在曲面内，就可以在曲面的内部使用一个法向朝内侧辅助球来隔离这一不连续的部分

$$\begin{array}{r}\underset{外围曲面和辅助球曲面之间区域的三重积分}{\iiint }=\int \int {◯}_{外围曲面的，法向朝外}+\int \int {◯}_{辅助球曲面积，法向朝内}\end{array}$$

利用证明 Stoke 公式的技巧

stoke 公式就是一坨答辩，虽然它的处理对象是三维空间第二型曲线积分(被积函数的变量有三个:$x,y,z$，而以前的只有两个)，但是它还是把第二型曲线积分硬生生变成了第二型曲面积分，白白提高难度。

但是还是要记住这个公式，下面介绍一下记忆 stoke 公式需要的符号 如果 $\vec{F}$ 是一个向量场，意思就是说 $\vec{F}=\left(\begin{array}{c}P\\ Q\\ R\end{array}\right)$，如果在向量场 $\vec{F}$ 中放好一个点 $\overrightarrow{r_0}=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right)$，那么这一点处的向量 $\overrightarrow{F_0}=\left(\begin{array}{c}P(x_0,y_0,z_0)\\ Q(x_0,y_0,z_0)\\ R(x_0,y_0,z_0)\end{array}\right)$，如果一个向量场是连续的，那么各个点的向量方向也是连续变化的

奇奇怪怪的东西	解释 (向量场的散度就是所谓的漏洞或者说缺口，而向量场的旋度就是来描述漩涡的)	例子
梯度算子 $\nabla$	对向量求梯度，拜托说人话，就是梯度算子直接点乘向量，直接点乘的梯度算子其实就是对向量的各个分量求偏导的工具，$\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})$	$\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})$
散度算子 $\Delta$	散度，放屁，说人话，就是求两次梯度(对向量各分量求两次偏导)$\nabla \cdot \nabla =\Delta =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})\cdot (\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})=(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2},\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})$	$\Delta u=\nabla \cdot \nabla u=(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})$
方向导数 $\frac{\partial u}{\partial \vec{a}}$	多元函数 $U(x,y)$ 在 $\vec{a}$ 向量方向上的导数，$\frac{\partial u}{\partial \vec{a}}=\nabla u.\vec{a}(的方向余弦)$
旋度算子 $\nabla \times$	对向量求散度，其实就是拿梯度算子去叉乘向量	$\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$，$\vec{F}=(P,Q,R)$，对 $\vec{F}$ 求散度就是 $\nabla \times \vec{F}=\Vert \begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\Vert$

而下面这个式子就是要记住的东西，其中 $S^{+},L^{+}$ 的方向满足右手螺旋定则，大拇指是曲面 $S$ 的法向量方向，那么四指指向的就是曲线 $L$ 的方向

$$\begin{array}{r}\underset{L^{+}}{\oint }Pdx+Qdy+Rdz=\boxed{\underset{L^{+}}{\oint }\vec{F}\cdot d\vec{r}=\underset{S^{+}}{\iint }\nabla \times \vec{F}\cdot \vec{n}}=\underset{S^{+}}{\iint }rot\vec{F}\cdot \vec{n}dS\end{array}$$

一般都是不用这个公式来做题的。而是理解证明这个公式过程中的一种思路，用这个思路来做题。这个思路的就是把三个变量的曲线积分想办法用已知曲线的方程消掉多余的变量。

1. 把空间曲线积分的三个变量 $x,y,z$ 都用一个统一的参数 $t$ 来表示
2. 把空间中三个变量的曲线积分用曲线方程消去一个变量，变成两个变量的曲线积分，之后再正常地处理两个参数的第二型曲线积分，到这里再使用格林公式或者直接计算都可以

上面的那些做法之所以可行，是因为它们把空间中的曲线投影到平面上的曲线了。因为其实用方程消掉参数就是一种投影坐标变换，把空间中三个自由度的曲线投影到平面上变成两个自由度的曲线。