级数

笔记来源	讲课老师
中山大学工科高数课堂	@杨奇林

收敛的级数具有线性性，两个收敛的级数的线性组合、数乘还是收敛的

对一个收敛的级数在前面若干项做变动是不会影响级数的收敛性的

等比级数

如果比例为 $r$，那么等比级数的部分和为 $S_n=\frac{a_1-a_{n}r}{1-r}$ ($\frac{首项}{}$) 如果 $\mid r\mid <1$ 那么等比级数的和为 $\frac{a_1}{1-r}$ ($\frac{首项}{1-公比}$) 如果 $r=1$，则级数和为 $\infty$，不收敛 如果 $r=-1$，级数和也不收敛

正项级数收敛

正项级数收敛的充要条件是它的部分和 $S_n$ 有上界

正项级数收敛，它的子列也收敛 正项级数的子列收敛，它本身也收敛

$\frac{1}{n^p}$ 级数

这个 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ 级数，当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散 经常利用这个级数去拿你要证明的级数进行比较判别法辅助判定

比较判别法

核心就是如果要证明一个复杂级数的收敛性，就要找到另外一个好算的级数来辅助 判别的方法就是两个级数，大的如果收敛，小的也一定收敛；小的如果发散，大的也一定发散

除了直接凑比大小，还可以使用泰勒展开来得到等价的级数。因为这个级数的收敛其实就是无穷小的运算，分析通项是不是趋近于 0，如果不趋近于 0 那根本不可能收敛，如果趋于 0 就是无穷小量，可以使用泰勒展开。要注意可以通过泰勒展开那个原来级数的式子，找到和原来级数等价的多项式展开式。这样子就可以用简单的等价多项式辅助证明原来复杂的级数了

具体的验证方法就是，已知一个复杂的级数 $u_n$ 我们用泰勒展开构造了一个好算的级数 $v_n$ 接下来要去验证这二者是否可以等价，就是看 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}$ 是否等于常数，如果等于常数，就找到了等价的好算级数 $v_n$ 这时候 $u_n$ 和 $v_n$ 的收敛性是一样的

在这里经常会遇见 $\frac{1}{n^p}$ 还有一些类似的变形，比如 $n{u}_n=\frac{u_n}{\frac{1}{n}}$ 以及 $n^p{u}_n=\frac{u_n}{\frac{1}{n^p}}$ 或者知道 $n^p{a}_n^p$ 收敛时，可以作为条件用极限的拆分运算推出 $a_n$ 收敛

比值判别法

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{后一项}{前一项}=l$ 本质上是看后一项比前一项的比值是大于 1 还是小于 1 其实就是拿这个级数等效成等比级数，如果等效出来的比例小于 1，那等比级数就是收敛的嘛

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{后一项}{前一项}=l\{\begin{array}{l}l<1是衰减的，收敛\\ l>1不是衰减的，发散\\ l=1换方法吧\end{array}$

这个比值判别法适合阶乘、多项式和常数的 $n$ 次方连乘的情况

在做比值的时候，要考虑两个重要的极限 $\sin x=x$ 和 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n【1的无穷大】=e$

遇到比值为 1，就换 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=1+\frac{p}{n}$ 泰勒展开

柯西判别法

$\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n{)}^{\frac{1}{n}}=l$ 这个极限如果存在，就是和比值判别法的极限相同的，所以结论也相同 $\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n{)}^{\frac{1}{n}}=l\{\begin{array}{l}l<1是衰减的，收敛\\ l>1不是衰减的，发散\\ l=1换方法吧\end{array}$

柯西判别法适合处理 $n$ 的 $n$ 次方的

级数和对应的函数具有相同收敛性

一个 $x$ 连续变化的函数 $f(x)$ 和一个 $n$ 离散变化的级数 $a_n=f(n)$ 是具有相同收敛性的

写成公式就是 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n={\int }_1^{A}f(x)dx$ 一旦级数 $a_n$ 收敛，那么积分结果 ${\int }_1^{A}f(x)dx=P(A)$ 在 $A\to \infty$ 的时候极限存在

所以遇到难算的级数可以把 $n$ 改成 $x$ 用函数积分计算 具体来说就是计算这个函数积分得到 ${\int }_1^{A}f(x)dx=P(A)$ ，再看 $A\to \infty$ 之后，$P(A)$ 存不存在，如果存在就是收敛，不存在就发散

经常用看成函数的方法处理下面的级数和结论

级数	结论
$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^p}\{\begin{array}{l}p<1发散\\ p>1收敛\end{array}$	当 $n\to \infty$ 有 $(\ln n{)}^{\ln n}>n^{常数}$

利用极限运算的技巧

在计算级数极限是否收敛时，还要回顾一下极限的运算技巧

如果遇到式子比较复杂，看看出现高次多项式 $\frac{n}{A{n}^5+B{n}^4+C{n}^3+D{n}^2+En+F}$ 或者出现多层对数或者指数 $\ln \ln n、\ln n、e^n$ 时要注意抓大头，抓住占主导的部分，忽略次要的部分

高次多项式	$\frac{n}{A{n}^5+B{n}^4+C{n}^3+D{n}^2+En+F}$	分母主导是 $A{n}^5$
有指数或多层对数	$\frac{1}{n(\ln n{)}^p(\ln \ln n{)}^q}$	一般情况下有 $\ln$ 忽略 $\ln \ln$